Kapitel 2 · Univariate deskriptive Statistik

Lagemaße

Das Zentrum einer Verteilung

Lagemaße verdichten die Daten zu einem »typischen« Wert. Setze selbst Punkte und beobachte, wie Mittel und Median auf einen Ausreißer reagieren:

Arithmetisches Mittel

\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{k} a_j h_j = \sum_{j=1}^{k} a_j f_j

Es entspricht dem physikalischen Schwerpunkt, ist nur ab Intervallskala sinnvoll und empfindlich gegenüber Ausreißern.

Median

Der Median ist der Wert in der Mitte der geordneten Reihe $x_{(1)} \le \dots \le x_{(n)}$ :

x_{med} = \begin{cases} x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} & n \text{ ungerade} \\[4pt] \tfrac{1}{2}\left(x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}\right) & n \text{ gerade} \end{cases}

Er ist robust (ab Ordinalskala) und bei wenigen Werten, Asymmetrie oder Ausreißerverdacht zu bevorzugen.

Modus und geometrisches Mittel

Modus $x_{mod}$ : häufigste Ausprägung, bereits für nominale Merkmale.
Geometrisches Mittel $x_{geom} = \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n}$ : für Wachstums-/Zinsfaktoren. Beispiel: Faktoren $1{,}02,\,1{,}07,\,1{,}05$ → $\sqrt[3]{1{,}02\cdot1{,}07\cdot1{,}05}\approx 1{,}0466$ (≈ 4,66 % p. a.).

Quantile und Fünf-Punkte-Zusammenfassung

Das p-Quantil $x_p$ trennt die Daten so, dass mindestens $p\cdot100\%$ darunter liegen:

x_p = \begin{cases} x_{(\lceil np\rceil)} & np \notin \mathbb{Z} \\[2pt] \tfrac12\left(x_{(np)} + x_{(np+1)}\right) & np \in \mathbb{Z} \end{cases}

Spezialfälle: $x_{0{,}5}$ = Median, $x_{0{,}25}$ = unteres, $x_{0{,}75}$ = oberes Quartil. Die Fünf-Punkte-Zusammenfassung $x_{min}, x_{0{,}25}, x_{med}, x_{0{,}75}, x_{max}$ fasst die Verteilung kompakt zusammen (Basis des Box-Plots).

Lageregel als Schiefe-Indikator: Je stärker sich $\bar x$ , $x_{med}$ und $x_{mod}$ unterscheiden, desto schiefer die Verteilung.

Abruf-Quiz

Frage 1 / 3

Median der Werte $1,0,3,4,4,2,0,3,0,5$ ? (n=10, geordnet)