Kapitel 5 · Diskrete Zufallsvariablen und Verteilungen

Erwartungswert & Varianz

Erwartungswert

Der Erwartungswert ist das mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittel der möglichen Werte:

E(X) = \mu = \sum_{i} x_i\, p_i = \sum_i x_i\, f(x_i)

Er beschreibt das Zentrum der Verteilung — die »Erwartung« an das Ergebnis, ohne das Experiment durchzuführen. Das unterscheidet ihn vom arithmetischen Mittel $\bar x$ , das den Schwerpunkt erhobener Daten beschreibt.

Varianz und Standardabweichung

Die Varianz misst die zu erwartende Streuung:

\operatorname{Var}(X) = \sigma^2 = \sum_i (x_i - \mu)^2 f(x_i), \qquad \sigma = \sqrt{\operatorname{Var}(X)}

Rechenregeln

Regel	Erwartungswert	Varianz
Lineartransformation	$E(aX+b)=aE(X)+b$	$\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$
Summe	$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$	bei Unabhängigkeit: $\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)$
Produkt (unabh.)	$E(X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)$	—

Bei symmetrischer Wahrscheinlichkeitsfunktion um $c$ ist $E(X)=c$ .

Klausurfalle: Der Faktor $a$ geht quadratisch in die Varianz ein ( $a^2$ ), aber linear in den Erwartungswert. Und Varianzen addieren sich nur bei Unabhängigkeit.

Abruf-Quiz

Frage 1 / 3

Spielwette: Gewinn X ∈ {−3, 1, 2} mit P = {0,25; 0,5; 0,25}. Wie groß ist E(X)?