Kapitel 7 · Schätzverfahren

Prüfverteilungen: χ² und t

Zentrale Schwankungsintervalle

Bevor man schätzt, lohnt der Blick auf die Streuung der Normalverteilung. Das zentrale Schwankungsintervall um $\mu$ enthält die mittleren $1-\alpha$ :

P\big(\mu - z_{1-\alpha/2}\,\sigma \le X \le \mu + z_{1-\alpha/2}\,\sigma\big) = 1 - \alpha

$1-\alpha$	$z_{1-\alpha/2}$
90 %	1,64
95 %	1,96
99 %	2,58

Das ist die 68-95-99,7-Regel in Quantilform — und der Bauplan für Konfidenzintervalle.

Die χ²-Verteilung

Quadriert und summiert man $n$ unabhängige Standardnormalvariablen, entsteht die χ²-Verteilung mit $n$ Freiheitsgraden:

Z = X_1^2 + \dots + X_n^2 \sim \chi^2(n), \qquad E(Z) = n, \quad \operatorname{Var}(Z) = 2n

Sie ist rechtsschief und nur für $x \ge 0$ definiert. Sie beschreibt u. a. die Verteilung der Stichprobenvarianz und liegt χ²-Tests zugrunde.

Die t-Verteilung

Ersetzt man im standardisierten Mittelwert das unbekannte $\sigma$ durch die Schätzung $S$ , folgt die Größe nicht mehr exakt einer Normalverteilung, sondern der t-Verteilung (Student):

T = \frac{X}{\sqrt{Z/n}}, \quad X\sim N(0,1),\ Z\sim\chi^2(n) \text{ unabh.}

Sie ist symmetrisch um 0, hat aber schwerere Ausläufer als die Normalverteilung — Ausdruck der zusätzlichen Unsicherheit durch das geschätzte $\sigma$ . Für $n \to \infty$ konvergiert sie gegen $N(0,1)$ (ab $n > 30$ kaum noch ein Unterschied).

Merke: $\sigma$ bekannt → Normalverteilung (z). $\sigma$ geschätzt → t-Verteilung. Genau diese Fallunterscheidung kehrt bei Konfidenzintervallen und Tests wieder.

Abruf-Quiz

Frage 1 / 3

Z ~ N(0,1). Welcher Anteil liegt im zentralen Schwankungsintervall [−1,96; 1,96]?