Kapitel 5 · Diskrete Zufallsvariablen und Verteilungen

Bernoulli, Gleichverteilung & geometrische Verteilung

Bernoulli: der einzelne Versuch

Ein Bernoulli-Experiment hat genau zwei Ausgänge (Erfolg/Misserfolg). Die Bernoulli-Variable ist

mit $E(X)=\pi$ und $\operatorname{Var}(X)=\pi(1-\pi)$. Ein Bernoulli-Prozess wiederholt das Experiment $n$-mal unabhängig bei konstantem $\pi$ — die Grundlage für Binomial- und geometrische Verteilung.

Diskrete Gleichverteilung

Sind alle $k$ Werte gleichwahrscheinlich ($P(X=x_i)=1/k$, z. B. fairer Würfel), liegt die diskrete Gleichverteilung vor. Für $\{1,\dots,k\}$: $E(X)=\frac{k+1}{2}$, $\operatorname{Var}(X)=\frac{k^2-1}{12}$.

Geometrisch: Warten auf den ersten Erfolg

Wiederholt man einen Bernoulli-Versuch, bis $A$ zum ersten Mal eintritt, ist $X =$ »Anzahl der Versuche« geometrisch verteilt (Träger $\{1,2,3,\dots\}$):

Beispiel (Übung 8): Nur 10 % der Personen sind für eine Studie geeignet. Wahrscheinlichkeit, dass die erste geeignete genau die fünfte ist: $0{,}9^4\cdot 0{,}1 = 0{,}06561$. Innerhalb der ersten 5: $1-0{,}9^5 = 0{,}40951$. Erwartete Anzahl: $1/0{,}1 = 10$. (Im Test gegen den Kern reproduziert.)

Merke: Geometrisch zählt die Wartezeit bis zum ersten Erfolg (Träger ab 1); binomial zählt die Erfolge bei festem $n$ (Träger ab 0). Nächster Abschnitt.