Kapitel 6 · Stetige Zufallsvariablen und Verteilungen

Stetige Zufallsvariablen & Dichte

Was ist eine Dichte?

Eine Zufallsvariable $X$ heißt stetig, wenn es eine Funktion $f(x)\ge 0$ gibt mit

P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx

$f$ heißt Wahrscheinlichkeitsdichte. Entscheidend: Nicht der Funktionswert, sondern die Fläche unter $f$ ist eine Wahrscheinlichkeit. Daraus folgt die Normierung:

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1

Punkte haben Wahrscheinlichkeit null

Eine Besonderheit stetiger Zufallsvariablen:

P(X = x) = 0 \quad\text{für jedes } x \in \mathbb{R}

Eine Fläche der Breite 0 hat keinen Inhalt. Deshalb sind die Intervallgrenzen egal:

P(a \le X \le b) = P(a < X < b)

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist das Integral der Dichte:

F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt

Sie ist stetig und monoton wachsend von 0 auf 1. Umgekehrt ist die Dichte die Ableitung: $f(x) = F'(x)$ . Für Intervalle gilt

P(a \le X \le b) = F(b) - F(a), \qquad P(X > a) = 1 - F(a).

Klausurfalle: Bei diskreten ZV ist $F$ eine Treppenfunktion, bei stetigen eine glatte Kurve. Und $P(X=x)=0$ gilt nur im stetigen Fall.

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Frage 1 / 3

Für eine stetige Zufallsvariable X gilt P(X = x) = …