Kapitel 6 · Stetige Zufallsvariablen und Verteilungen

Maßzahlen & stetige Gleichverteilung

Erwartungswert und Varianz

Im stetigen Fall ersetzt das Integral die Summe:

E(X) = \mu = \int_{-\infty}^{+\infty} x\, f(x)\,dx, \qquad \operatorname{Var}(X) = \sigma^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu)^2 f(x)\,dx

Interpretation und Rechenregeln gelten wie im diskreten Fall. Ist die Dichte symmetrisch um $c$ , so ist $E(X)=c$ .

Median und Quantile über F

Das p-Quantil $x_p$ ist der Wert mit

F(x_p) = p

Es teilt die Gesamtfläche 1 unter der Dichte in $p$ (links) und $1-p$ (rechts). Der Median ist das 50 %-Quantil: $F(x_{med}) = \tfrac12$ — er halbiert die Fläche.

Stetige Gleichverteilung

Die einfachste stetige Verteilung: konstante Dichte auf $[a,b]$ .

f(x) = \frac{1}{b-a} \;\text{ auf } [a,b], \qquad F(x) = \frac{x-a}{b-a}, \qquad E(X) = \frac{a+b}{2}, \quad \operatorname{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}

Modell z. B. für eine zufällige Ankunftszeit in einem Intervall oder gleichverteilte Zufallszahlen in $[0,1]$ .

Abruf-Quiz

Frage 1 / 3

Stetige Gleichverteilung auf [2, 6]. Wie groß ist der Erwartungswert E(X)?