Kapitel 4 · Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeit

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Sind alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich (z. B. fairer Würfel, faire Münze), gilt:

Beispiel: $P(\text{gerade}) = \tfrac{3}{6} = \tfrac12$.

Axiome und Rechenregeln

Allgemein (auch ohne Gleichwahrscheinlichkeit) erfüllt $P$ die Axiome von Kolmogorov: $P(A)\ge 0$, $P(\Omega)=1$, und für disjunkte Ereignisse ist $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$. Daraus folgen u. a.:

Was bedeutet »Wahrscheinlichkeit«?

Wahrscheinlichkeiten werden meist als relative Häufigkeiten bestimmt und interpretiert. Der Unterschied:

• relative Häufigkeit $f_n(A)$: bezieht sich auf eine beobachtete Stichprobe in der Vergangenheit.
• Wahrscheinlichkeit $P(A)$: bezieht sich auf ein zukünftiges Ereignis — die mathematische Abstraktion (»aus Erfahrung wird Erwartung«).

Das empirische Gesetz der großen Zahlen verbindet beide:

Wirf selbst und beobachte, wie die zappelnde relative Häufigkeit sich der wahren Wahrscheinlichkeit annähert:

Klausurfalle: Die Laplace-Formel gilt nur bei gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen. Bei einem gezinkten Würfel ist „günstige durch mögliche“ falsch — dann braucht man die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten.