Kapitel 4 · Wahrscheinlichkeitsrechnung

Totale Wahrscheinlichkeit & Satz von Bayes

Hinweis: Standarddefinitionen (Folien fehlen, s. REVIEW.md); durch den Rechenkern abgesichert.

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

Zerlegt man $\Omega$ in disjunkte Fälle $B_1,\dots,B_k$ (eine Zerlegung), so setzt sich $P(A)$ aus den Pfaden zusammen:

P(A) = \sum_{i=1}^k P(A \mid B_i)\, P(B_i)

Satz von Bayes

Bayes »dreht die Bedingung um« — von $P(A\mid B)$ zu $P(B\mid A)$ :

P(B_j \mid A) = \frac{P(A \mid B_j)\, P(B_j)}{\sum_{i=1}^k P(A \mid B_i)\, P(B_i)}

Hier wird aus der A-priori-Wahrscheinlichkeit $P(B_j)$ (vor der Beobachtung) die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit $P(B_j\mid A)$ (nach der Beobachtung von $A$ ).

Die Basisraten-Falle

Das klassische Beispiel: ein medizinischer Test bei seltener Krankheit. Stelle Prävalenz, Sensitivität und Falsch-Positiv-Rate ein und sieh, wie wenige der positiv Getesteten tatsächlich krank sind:

Mit Prävalenz 1 %, Sensitivität 99 %, Falsch-Positiv 5 %:

P(+) = 0{,}99\cdot 0{,}01 + 0{,}05\cdot 0{,}99 = 0{,}0594, \qquad P(\text{krank}\mid +) = \frac{0{,}0099}{0{,}0594} \approx 0{,}17

Nur etwa 17 % der positiv Getesteten sind wirklich krank — obwohl der Test „zu 99 %“ richtig liegt. (Im Test gegen den Kern reproduziert.)

Klausur- und Alltagsfalle: Ignoriere nie die Basisrate (Prävalenz). Ein guter Test allein sagt wenig, wenn die Krankheit selten ist.

Abruf-Quiz

Frage 1 / 3

Krankheit mit Prävalenz 1 %. Test: Sensitivität 99 %, Falsch-Positiv-Rate 5 %. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines positiven Tests P(+)? (4 Nachkommastellen)