Kapitel 6 · Stetige Zufallsvariablen und Verteilungen

Normalverteilung

Die wichtigste Verteilung

Summen vieler unabhängiger, gleichgroßer Zufallseinflüsse sind annähernd normalverteilt (Gauß-Verteilung) — daher modelliert sie Messfehler, Körpergrößen, Produktionsabweichungen u. v. m.:

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}, \qquad E(X) = \mu, \quad \operatorname{Var}(X) = \sigma^2

$\mu$ verschiebt die Glockenkurve, $\sigma$ bestimmt ihre Breite (Wendepunkte bei $\mu \pm \sigma$ ). Verschiebe Parameter und Grenzen:

Standardisierung

Es gibt unendlich viele Normalverteilungen, deren Integral sich nicht geschlossen berechnen lässt. Der Trick: standardisieren auf $N(0,1)$ .

Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1), \qquad F(x) = \Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)

Damit reicht eine Tabelle — die der Standardnormalverteilung $\Phi$ .

Mit der z-Tabelle rechnen

Beispiel Nüchternblutzucker $X \sim N(90, 10)$ :

P(X < 75) = \Phi\!\left(\frac{75-90}{10}\right) = \Phi(-1{,}5) = 1 - \Phi(1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668

P(85 < X < 105) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-0{,}5) = 0{,}9332 - 0{,}3085 = 0{,}6247

Wegen der Symmetrie gilt $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ . (Im Test reproduziert.)

σ-Regeln und wichtige Quantile

Intervall	Anteil
$\mu \pm \sigma$	≈ 68,3 %
$\mu \pm 2\sigma$	≈ 95,4 %
$\mu \pm 3\sigma$	≈ 99,7 %

Häufig gebrauchte Quantile: $z_{0{,}90}=1{,}28$ , $z_{0{,}95}=1{,}64$ , $z_{0{,}975}=1{,}96$ , $z_{0{,}99}=2{,}33$ . Für $N(\mu,\sigma)$ gilt $x_p = \mu + z_p\cdot\sigma$ .

Klausurfalle: Vor dem Tabellennachschlagen standardisieren ( $z=(x-\mu)/\sigma$ ). Für negative $z$ die Symmetrie $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$ nutzen — die Tabelle listet nur $z \ge 0$ .

Abruf-Quiz

Frage 1 / 4

Nüchternblutzucker X ~ N(90, 10). Wie groß ist P(X < 75)? (4 Nachkommastellen, Φ(−1,5)=1−0,9332)