Kapitel 7 · Schätzverfahren

Konfidenzintervalle

Punktschätzung plus Unsicherheit

Eine Punktschätzung schwankt von Stichprobe zu Stichprobe. Ein $(1-\alpha)$-Konfidenzintervall ist ein zufälliges Intervall, das den festen, unbekannten Parameter mit Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$ überdeckt. $\alpha$ heißt Irrtumswahrscheinlichkeit (üblich 0,10 / 0,05 / 0,01).

Was »95 %« wirklich heißt

Stelle das Konfidenzniveau und $n$ ein und ziehe viele Stichproben — etwa 95 % der Intervalle treffen das feste $\mu$:

Das wahre $\mu$ ist fest, das Intervall ist zufällig. „95 %“ bezieht sich auf das Verfahren über viele Stichproben — nicht auf ein einzelnes, bereits berechnetes Intervall.

Fall 1: σ bekannt (z-Intervall)

Bei normalverteiltem $X$ mit bekanntem $\sigma$:

Beispiel: $\bar x = 169{,}5$, $\sigma = 10$, $n = 20$, 95 % → $169{,}5 \pm 1{,}96\cdot\frac{10}{\sqrt{20}} = 169{,}5 \pm 4{,}38 = [165{,}1;\,173{,}9]$.

Fall 2: σ unbekannt (t-Intervall)

Wird $\sigma$ durch $s$ geschätzt, tritt die t-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden an die Stelle der Normalverteilung:

Beispiel: $\bar x = 183{,}0$, $s = 7{,}7$, $n = 21$, 95 → $183{,}0 \pm t_{20;\,0{,}975}\cdot\frac{7{,}7}{\sqrt{21}} = 183{,}0 \pm 2{,}086\cdot1{,}68 = [179{,}5;\,186{,}5]$.

(Beide Intervalle im Test gegen den Kern reproduziert.)

Breite und Sonderfall n > 30

Drei Stellschrauben bestimmen die Breite:

• Niveau $1-\alpha$ ↑ → Intervall breiter
• Streuung $\sigma$ ↑ → breiter
• Stichprobenumfang $n$ ↑ → schmaler (Breite $\propto 1/\sqrt n$)

Für $n > 30$ darf man auch bei unbekanntem $\sigma$ mit dem $z$-Quantil rechnen ($t \approx z$, Normalapproximation).

Klausurfalle: Erst die Fallfrage klären — $\sigma$ bekannt → z, $\sigma$ unbekannt → t (df $= n-1$). Und die „95 %“ nie auf das eine berechnete Intervall beziehen.