Kapitel 7 · Schätzverfahren

Schätzfunktionen & Güte

Punkt- und Intervallschätzung

Schätzen heißt, Werte für unbekannte Parameter der Grundgesamtheit aus einer Stichprobe zu bestimmen.

Punktschätzung: ein einzelner Wert (z. B. $\bar x = 183{,}0$ cm).
Intervallschätzung: ein ganzer Vertrauensbereich (nächster Abschnitt).

Die universellen Schätzfunktionen

Eine Schätzfunktion ist eine Formel in den Stichprobenvariablen — und damit selbst eine Zufallsvariable. Die drei wichtigsten gelten unabhängig von der zugrunde liegenden Verteilung (für i.i.d.-Stichproben):

\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i, \qquad S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2, \qquad S = \sqrt{S^2}

für $\mu$ , $\sigma^2$ bzw. $\sigma$ . Ein Schätzwert ist der konkrete Wert bei gegebener Stichprobe.

Gütekriterien

Kriterium	Bedeutung
Erwartungstreue	$E(\hat\theta) = \theta$ — kein systematischer Fehler
Konsistenz	wird mit wachsendem $n$ immer genauer
Effizienz	kleine Streuung, schon bei kleinem $n$ brauchbar
Suffizienz	nutzt die gesamte Information der Stichprobe

Genau hier liegt der tiefere Grund für das $n-1$ aus Kapitel 2: Die Teilung durch $n-1$ macht $S^2$ erwartungstreu ( $E(S^2)=\sigma^2$ ); mit $n$ würde man $\sigma^2$ im Mittel unterschätzen.

Klausurfalle: Erwartungstreue (im Mittel richtig) ≠ Konsistenz (mit mehr Daten besser). Eine Schätzung kann konsistent, aber für kleine $n$ verzerrt sein — und umgekehrt.

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Frage 1 / 3

Welche Eigenschaft bedeutet, dass der Erwartungswert der Schätzfunktion gleich dem wahren Parameter ist?