Kapitel 4 · Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kombinatorik

Hinweis: Standarddefinitionen (Folien fehlen, s. REVIEW.md); alle Formeln durch den Rechenkern abgesichert.

Die vier Grundfälle

Beim Ziehen von $k$ aus $n$ Objekten entscheiden zwei Fragen über die Anzahl: Spielt die Reihenfolge eine Rolle? Wird zurückgelegt?

	ohne Zurücklegen	mit Zurücklegen
geordnet (Variation)	$\dfrac{n!}{(n-k)!}$	$n^k$
ungeordnet (Kombination)	$\dbinom{n}{k}$	$\dbinom{n+k-1}{k}$

Der Spezialfall $k = n$ ohne Zurücklegen, geordnet, ist die Permutation: $n!$ Anordnungen.

Beispiele

Bücher anordnen: 5 verschiedene Bücher → $5! = 120$ Reihenfolgen.
Ämtervergabe (geordnet, ohne Zurücklegen): 3 aus 10 → $10\cdot 9\cdot 8 = 720$ .
Lotto 6 aus 49 (ungeordnet, ohne Zurücklegen): $\binom{49}{6} = 13\,983\,816$ .

Bezug zur Wahrscheinlichkeit

Die Kombinatorik liefert die »günstigen« und »möglichen« Fälle für die Laplace-Formel. Die Gewinnchance für »6 Richtige« im Lotto ist gerade

P(\text{6 Richtige}) = \frac{1}{\binom{49}{6}} = \frac{1}{13\,983\,816} \approx 7{,}2\cdot 10^{-8}.

Klausurfalle: Erst klären — geordnet oder nicht? mit oder ohne Zurücklegen? — dann die passende Formel wählen. Die häufigste Verwechslung ist Variation ( $n!/(n-k)!$ ) vs. Kombination ( $\binom{n}{k}$ ): sie unterscheiden sich genau um den Faktor $k!$ der Reihenfolgen.

Abruf-Quiz

Frage 1 / 3

Lotto „6 aus 49": Wie viele verschiedene Tippreihen gibt es (ungeordnet, ohne Zurücklegen)?