Kapitel 5 · Diskrete Zufallsvariablen und Verteilungen

Diskrete Zufallsvariablen

Von Ergebnissen zu Zahlen

Ergebnisse von Zufallsvorgängen sind nicht immer Zahlen (z. B. »Kopf«/»Zahl«). Eine Zufallsvariable $X$ ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu. Den konkreten Wert bei einer Durchführung nennt man Realisierung $x$ , die Menge aller möglichen Werte den Träger $T$ .

$X$ heißt diskret, wenn $T$ endlich oder abzählbar ist.

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Die Verteilung von $X$ ist durch $P(X = x_i) = p_i$ gegeben. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist

f(x) = \begin{cases} p_i & x = x_i \in T \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}, \qquad \sum_i p_i = 1

Sie ist das Analogon zur relativen Häufigkeitsverteilung — nur dass jetzt Wahrscheinlichkeiten statt beobachteter Häufigkeiten stehen.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion summiert die Wahrscheinlichkeitsfunktion auf:

F(x) = P(X \le x) = \sum_{i\,:\,x_i \le x} f(x_i)

Sie ist eine monoton wachsende Treppenfunktion, springt an den $x_i$ um $p_i$ nach oben (rechtsseitig stetig, oberer Wert an der Sprungstelle) und geht von 0 auf 1. Nützliche Rechenregeln:

P(X > a) = 1 - F(a), \qquad P(a < X \le b) = F(b) - F(a)

Abruf-Quiz

Frage 1 / 3

Was ist eine Zufallsvariable, was eine Realisierung?