Kapitel 8 · Hypothesentests

Testlogik & Hypothesen

Schätzen vs. Testen

Beim Schätzen bestimmt man einen Wert; beim Testen trifft man eine Entscheidung: Trifft eine Behauptung über einen Parameter zu? Eine statistische Hypothese ist eine Behauptung über eine Eigenschaft einer Zufallsvariablen (z. B. »$\mu = 17$ cm«).

Null- und Alternativhypothese

Man stellt zwei einander ausschließende Hypothesen auf:

• $H_0$ (Nullhypothese): Gleichheit, kein Effekt — das, was widerlegt werden soll.
• $H_1$ (Alternative): der Unterschied — das, was man zeigen möchte.

Idee: $H_0$ wird verworfen, wenn die Beobachtung unter $H_0$ sehr unwahrscheinlich ist.

Prüfgröße, Prüfverteilung, Ablehnbereich

Eine Prüfgröße verdichtet die Stichprobe zu einer Zahl, deren Verteilung unter $H_0$ bekannt sein muss (die Prüfverteilung). Beispiel Nagellänge ($\mu_0=17$, $\sigma=1{,}5$, $n=10$):

Der kritische Wert $c$ teilt den Wertebereich in Annahme- und Ablehnbereich. Beim zweiseitigen Test zum Niveau $\alpha$ ist $c = z_{1-\alpha/2}$; für $\alpha=0{,}05$ also $1{,}96$. Da $|z|=1{,}26 < 1{,}96$, bleibt $H_0$. (Im Test gegen den Kern reproduziert.)

Klausurfalle: Die Prüfverteilung gilt unter $H_0$. Der Ablehnbereich wird so gewählt, dass die Wahrscheinlichkeit, irrtümlich zu verwerfen, höchstens $\alpha$ ist.