Kapitel 6 · Stetige Zufallsvariablen und Verteilungen

Exponentialverteilung

Wartezeiten und Lebensdauern

Die Exponentialverteilung modelliert die Zeit bis zum nächsten Ereignis (Anruf, Ausfall, Zerfall) bei konstanter Rate $\lambda > 0$ :

f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\;(x\ge 0), \qquad F(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \qquad E(X) = \frac{1}{\lambda}, \quad \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}

Stelle $\lambda$ und die Schwelle $t$ ein und lies $P(X > t)$ als Fläche ab:

Durchgerechnet: Glühbirne

Mittlere Lebensdauer 100 h, also $\lambda = 0{,}01$ . Wahrscheinlichkeit für eine Lebensdauer über 100 h:

P(X > 100) = 1 - F(100) = e^{-0{,}01\cdot 100} = e^{-1} \approx 0{,}3679

Der Median liegt deutlich unter dem Mittelwert (Rechtsschiefe):

F(x_{med}) = 0{,}5 \;\Rightarrow\; x_{med} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx 69{,}31\ \text{h}

(Beide Werte im Test gegen den Kern reproduziert.)

Gedächtnislosigkeit

Die Exponentialverteilung ist gedächtnislos:

P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)

Ein Bauteil, das bereits $s$ Stunden lief, hat dieselbe Restlebensdauer-Verteilung wie ein neues — es gibt keinen Alterungseffekt. Das macht sie zum Modell für zufällige Ausfälle ohne Verschleiß, ist aber auch ihre wichtigste Einschränkung.

Klausurfalle: $\lambda$ ist die Rate, nicht die mittlere Wartezeit. Die mittlere Wartezeit ist $1/\lambda$ . Bei „mittlere Lebensdauer 100 h“ ist also $\lambda = 1/100 = 0{,}01$ .

Abruf-Quiz

Frage 1 / 3

Glühbirne, exponentialverteilte Lebensdauer mit mittlerer Lebensdauer 100 h (λ=0,01). Wie groß ist P(X > 100)? (4 Nachkommastellen)